حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المتباينات الآتية، ومثل مجموعة حلها بيانياً:

٨) $\left|\mathrm{٢}\mathrm{جـ} - \mathrm{١}\right|\le$ ٧

٢جـ - ١ $\le$ ٧ ، -٢جـ + ١ $\le$ ٧

٢جـ $\le$ ٨، -٢جـ $\le$ ٦

جـ $\le$ ٤، جـ $\ge$-٣

{جـ| - ٣ $\le$ جـ $\le$ ٤}.

٩) $\left|و + \mathrm{٥}\right|$ < -٨

مجموعة الحل: $\varnothing$

١٠) $\left|ر + \mathrm{٢} \right|$ > ٦

ر + ٢ > ٦، - ر - ٢ > ٦

ر > ٤، - ر > ٨

ر < ٨

{ر | ر < -٨ أو ر < ٤}.

١١) $\left|ك - \mathrm{٤}\right|$ > ٣

ك - ٤ > ٣، - ك + ٤ > ٣

ك > ٧، - ك > - ١

ك < ١

{ك | ك < ١ أو ك > ٧}.

١٢) $\left|\mathrm{٢}\mathrm{هـ} - \mathrm{٣}\right|\ge$ ٩

٢هـ - ٣ $\ge$ ٩، -٢هـ + ٣ $\ge$ ٩

٢هـ $\ge$ ١٢، -٢هـ $\ge$ ٦

هـ $\ge$ ٦، هـ $\le$ -٣

{هـ| هـ $\le$ -٣ أوهـ $\ge$ ٦}.

١٣) $\left|\mathrm{٥}ل + \mathrm{٣}\right|$ > - ٩

٥ل + ٣ > -٩، - ٥ل - ٣ > -٩

٥ل > - ١٢، - ٥ل > -٦

ل > -٢.٤، ك < ١.٢

{ل|ل عدد حقيقي}.

١٤) $\left|-\mathrm{٢}س - \mathrm{٣}\right|$ > -٤

-٢س - ٣> -٤، ٢س + ٣ > -٤

-٢س > -١، ٢س > -٧

س < ٠.٥، س > -٣.٥

{س|س عدد حقيقي}.

١٥) $\left|ن +\mathrm{٨}\right|$ < ١٦

ن + ٦ < ١، - ن - ٨ < ١٦

ن < -٥، - ن < ٢٤

{ن| - ٢٤ < ن < ٨}.

١٦) $\left|ر + \mathrm{١}\right|\le$ ٢

ر + ١ $\le$٢، - ر - ١ $\le$ ٢

ر $\le$ ١، ر $\ge$ -٣

{ر | -٣$\le$ ر $\le$ ١}.

١٧) غوص: يجب أن يبقى ضغط أسطوانة الغوص ١١٣٦ كجم لكل بوصة مربعة، بزيادة أو نقصان لا يتجاوز ٢٢٧ كجم. اكتب مدى الضغط المثالي لأسطوانة الغوص.

$\left|س - \mathrm{١١٣٦}\right|\le$ ٢٢٧

س - ١١٣٦ $\le$٢٢٧، -س + ١١٣٦ $\le$ ٢٢٧

س $\le$ ١٣٦٣، س $\ge$٩٠٩

{س| ٩٠٩ $\le$ س $\le$ ١٣٦٣}.

حل كلاً من المتباينات الآتية، ومثل مجموعة حلها بيانياً:

١٨) $\left|\mathrm{٤}ن + \mathrm{٣}\right|\ge$ ١٨

٤ن + ٣ $\ge$ ١٨، - ٤ن - ٣ $\ge$ ١٨

٤ن $\ge$ ١٥، -٤ن $\ge$ ٢١

ن $\ge$ ٣.٧٥، ن $\le$ - ٥.٢٥

{ن|ن $\le$ - ٥.٢٥ أو ن $\ge$ ٣.٧٥}.

١٩) $\left|\frac{\mathrm{٣}\mathrm{هـ} + \mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\right|$ < ٨

٣هـ + ١ < ١٦، -٣هـ - ١ < ١٦

٣هـ < ١٥، -٣هـ < ١٧

هـ < ٥، هـ > -٥.٧

{هـ| -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$< - < ٥}.

٢٠) $\left|\frac{\mathrm{٢}ب - \mathrm{٨}}{\mathrm{٤}}\right|\ge$ ٩

٢ب - ٨ $\ge$ ٣٦، -٢ب + ٨ $\ge$ ٣٦

٢ب $\ge$ ٤٤، -٢ب $\ge$ ٢٨

ب$\ge$٢٢، ب $\le$ -١٤

{ب|ب $\le$ -١٤ أو ب $\ge$ ٢٢}.

٢١) $\left|\frac{\mathrm{٧}\mathrm{جـ} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}\right|\le$ -٥

الحل: $\varnothing$

٢٢) $\left|\frac{\mathrm{٢}ق + \mathrm{٣٢}}{\mathrm{٢}}\right|$ > - ٧

٢ق + ٣ > -١٤، -٢ق - ٣ > -١٤

٢ق > - ١٧، -٢ق > -١١

ق > - ٨.٥، ق< ٥.٥

{ق|ق عدد حقيقي}.

٢٣) $\left|- \mathrm{هـ} + \mathrm{٥}.\mathrm{١}\right|$ < ٣

-هـ + ١.٥ < ٣، هـ - ١.٥< ٣

-هـ < ١.٥، هـ < ٤.٥

هـ > ١.٥

{هـ| -١.٥ < هـ < ٤.٥}.

٢٤) $\left|\mathrm{٥}ت - \mathrm{٢}\right|\le$ ٦

٥ت - ٢ $\le$ ٦، -٥ت + ٢ $\le$ ٦

٥ت $\le$٨، -٥ت $\le$٤

ت$\le$١.٦، ت $\ge$ -٠.٨

{ت| -٠.٨ $\le$ت $\le$ ١.٦}.

٢٥) $\left|-\mathrm{٣}ل - \mathrm{٧}\right|$ > ٥

-٣ل - ٧ > ٥، ٣ل + ٧ > ٥

-٣ل > ١٢، ٣ل > -٢

ل < -٤، ل > - ٠.٧

{ل|ل < -٤ أو ل > -$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$}.

٢٦) ادخار: يدخر سعد في العادة ٥٠٠ ريال شهرياً، بزيادة ونقصان لا يتجاوز ٦٠ ريالاً.

أ) اكتب مدى المبلغ الذي يدخره سعد شهرياً.

م - ٥٠٠ $\le$ ٦٠ ، - م + ٥٠٠ $\le$ ٦٠

م $\le$ ٥٦٠ ، - م $\le$ ٤٤٠

المدى: {م: ٤٤٠ $\le$ م $\le$ ٥٦٠}.

ب) مثل هذا المدى بيانياً.

٢٧) كيمياء: يوجد الماء في حالات ثلاث: صلبة وسائلة وغازية. ويتجمد عند درجة ٠° سيليزية، ويتبخر عند درجة ١٠٠° سيليزية. اكتب مدى درجات الحرارة التي لا يكون فيها الماء سائلاً.

مدى درجات الحرارة التي لا يكون فيها الماء سائلاً:

{د|د < ٠ أو د > ١٠٠}.

اكتب متباينة تتضمن قيمة مطلقة لكل من التمثيلات البيانية الآتية:

٢٨)

$\left|س\right|$ < ٢

٢٩)

$\left|س + \mathrm{١}\right|\ge$٢

٣٠)

$\left|س - \mathrm{٥}.\mathrm{٥}\right|$> ٤.٥

٣١) حيوانات: تبلغ درجة الحرارة الطبيعية لجسم الشاة السليمة ٣٩° سيليزية، وقد تزيد أو تقل عن ذلك بمقدار ١° سيليزية. فما مدى درجة حرارة جشم الشاة السليمة؟

$\left|د - \mathrm{٣٩}\right|\le$ ١

د - ٣٩ $\le$ ١ ، - د + ٣٩ $\le$ ١

د $\le$ ١ + ٣٩ ، - د $\le$ ٣٨

د $\le$ ٤٠ ، د $\le$ ٣٨

{د| ٣٨$\le$ د $\le$ ٤٠}.

عبر عن كل من العبارتين الآتيتين باستعمال متباينة تتضمن قيمة مطلقة:

٣٢) تبلغ درجة الحرارة المثلى داخل الثلاجة ٣٨° ف بزيادة أو نقصان لا يتجاوز ١.٥° ف.

$\left|س - \mathrm{٣٨}\right|\le$١.٥

٣٣) يحفظ مثبت السرعة سرعة السيارة عند ٨٨ كيلو متراً/ ساعة بزيادة أو نقصان مقداره ٥ كيلو مترات/ساعة.

$\left|س - \mathrm{٨٨}\right|\le$٥

٣٤) يجب أ، تبقى درجة حموضة بركة السباحة ٧.٥ بزيادة أو نقصن لا يتجاوز ٠.٣، اكتب مدى درجة الحموضة المثالية للبركة.

$\left|ح - \mathrm{٥}.\mathrm{٧}\right|\le$٠.٣

٣٥) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة التمثيل البياني لمتباينات القيمة المطلقة في المستوى الإحدائي.

أ) جدولياً: انقل الجدول الآتي وأكمله، وعوض في المتباينة قيم س وقيم د(س) لكل نقطة، ثم بين هل العبارة الناتجة صحيحة أم خاطئة:

ب) بيانياً: مثل الدالة د(س) = $\left|س -\mathrm{١}\right|$ بيانياً.

جـ) بيانياً: عيّن في المستوى الإحداثي جميع النقاط التي تجعل د(س) $\ge$$\left|س -\mathrm{١}\right|$ عبارة صحيحة بلون أحمر، وعيّن جميع النقاط التي تجعل د(س) $\le$ $\left|س -\mathrm{١}\right|$ صحيحة باللون الأزرق.

د) منطقياً: كون تحميناً حول شكل التمثيل البياني للمتباينتين د(س) $\ge$ $\left|س -\mathrm{١}\right|$، د(س) $\le$ $\left|س -\mathrm{١}\right|$، وأضف إلى الجدول نقاطاً جديدة للتحقق من صحة تخمينك.

د(س) $\ge$$\left|س -\mathrm{١}\right|$

د(س) $\le$$\left|س -\mathrm{١}\right|$

هـ) بيانياً: استعمل ما اكتشفته في هذه المسألة لتمثيل المتباينة د(س) $\ge$ $\left|س - \mathrm{٣}\right|$.

د(س) $\ge$$\left|س - \mathrm{٣}\right|$

٣٦) اكتشف الخطأ: مثل أحمد حل المتباينة $\left|\mathrm{٢}أ - \mathrm{٣}\right|$ > ١. كما في الشكل المجاور. فهل كان على صواب؟ فسر إجابتك.

لا، لأن أحمد نسي تغيير اتجاه إشارة المتباينة في الحالة السالبة للقيمة المطلقة.

٣٧) تبرير: هل يتكون التمثيل البياني لمتباينة القيمة المطلقة من اتحاد تمثيلين أحياناً أم دائماً، أم أنه لا يكون كذلك أبداً؟ اشرح إجابتك.

أحياناً؛ قد يكون التمثيل تقاطع تمثيلين، أو مجموعة خالية أو جميع الأعداد الحقيقية.

٣٨) تحد: بيّن لماذا يكون حل المتباينة $\left|ت\right|$> صفر مجموعة الأعداد الحقيقية جميعها.

إذا كان س = صفراً، فإن القيمة المطلقة = صفراً، وليست أكبر من صفر.

٣٩) مسألة مفتوحة: اكتب متباينة قيمة مطلقة تمثل موقفاً من واقع الحياة، وحلها، ثم فسر الحل.

$\left|ف - \mathrm{٦}.\mathrm{٩٨}\right|$ < ١.٤، المدى {ف| ٩٧.٢ < ف < ١٠٠}، تتراوح درجة حرارة الإنسان السليم بين ٩٧.٢ ، ١٠٠ درجة فهرنهايتية.

٤٠) اكتب: اشرح كيف تحدد ما إذا كانت متباينة القيمة المطلقة تتحول إلى متباينة مركبة تحتوي (و)، أو متباينة مركبة تحتوي (أو).

إذا كانت القيمة المطلقة إلى يمين رمز المتباينة < أو $\le$ فتستعمل (و) في الجمل المركبة، أما إذا كان رمز المتباينة > أو $\ge$ فتستعمل (أو) في المركبة المركبة، فإذا كانت $\left|س\right|$< ن فالحل هو س < ن و س < - ن وإذا كانت $\left|س\right|$ > ن فالحل هو س > ن أو < - ن.

٤١) إجابة قصيرة: سحبت بطاقة عشوائياً من كيس يحتوي ٩ بطاقات مرقمة بأرقام مختلفة من ١ - ٩. ما احتمال أن يكون الرقم المسحوب فردياً؟

الاحتمال = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$

٤٢) مجموعة حل المعادلة $\left|\mathrm{٢}ن - \mathrm{٣}\right|$ = ٥ هي:

أ) {-٤، -١}

ب) {-١، ٤}

جـ) {١، ١}

د) {٤، ٤}