حل أسئلة اختبار الفصل الثاني

أوجد الجذور التربيعية الآتية:

١) $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$

$\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ يشير إلى جذر تربيعي موج

بما أن ^٢١٥ = ٢٢٥

فإن $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ = ١٥

٢) $-\sqrt{\mathrm{٢٥}.\mathrm{٠}}$

$-\sqrt{\mathrm{٢٥}.\mathrm{٠}}$ يشير إلى جذر تربيعي سالب

بما أن ٠.٥ = ٠.٢٥

فإن $-\sqrt{\mathrm{٢٥}.\mathrm{٠}}$ = -٠.٥

٣) $\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$

$\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$ شير إلى الجذرين التربيعين الموجب والسالب

بما أن ($\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}$

فإن $\pm \sqrt{\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٤٩}}}$ = $\pm \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$

٤) اختيار من متعدد: أي قائمة فيما يلي تحوي أعداداً مرتبة من الأصغر إلى الأكبر؟

أ) $\overline{\mathrm{٢}}.\mathrm{٢}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، ٢.٢٥، $\sqrt{\mathrm{٥}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، $\overline{\mathrm{٢}}.\mathrm{٢}$، $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ٢.٢٥

جـ) $\sqrt{\mathrm{٥}}$، ٢.٢٥، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$، $\overline{\mathrm{٢}}.\mathrm{٢}$

د) ٢.٢٥، $\sqrt{\mathrm{٥}}$، $\overline{\mathrm{٢}}.\mathrm{٢}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

٥) $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٦٧ هو ٦٤. $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨

اصغر مربع كامل أكبر من ٦٧ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

٦٤ < ٦٧ < ٨١

^٢٨ < ٦٧ < ^٢٩

$\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ < $\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$

٨ < $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ < ٩

$\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ يقع بين ٨، ٩ بما أن ٦٧ أقرب إلى ٦٤ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٦٧}}$ بعدد كلي هو ٨.

٦) $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١١٨ هو ١٠٠. $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

اصغر مربع كامل أكبر من ١١٨ هو ١٢١. $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$ = ١١

١٠٠ < ١١٨ < ١٢١

^٢١٠ < ١١٨ < ^٢١١

$\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ < $\sqrt{{\mathrm{١١}}^{\mathrm{٢}}}$

١٠ < $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ < ١١

$\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ يقع بين ١٠، ١١ بما أن ١١٨ أقرب إلى ١٢١ منه إلى ١٠٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١١٨}}$ بعدد كلي هو ١١.

٧) $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٨٢ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

اصغر مربع كامل أكبر من ٨٢ هو ١٠٠. $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٨١ < ٨٢ < ١٠٠

^٢٩ < ٨٢ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$ < $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ < $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ < ١٠

$\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ يقع بين ٩، ١٠ بما أن ٨٢ أقرب إلى ٩ منه إلى ١٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٨٢}}$ بعدد كلي هو ٩.

سم كل مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد حقيقي فيما يأتي:

٨) $-\sqrt{\mathrm{٦٤}}$

= -٨

فهو عدد صحيح، ونسبي.

٩) $\overline{\mathrm{١٣}}.\mathrm{٦}$

= ٦.١٣١٣١٣١٣١٣

كسر عشري دوري، فهو عدد نسبي.

١٠) $\sqrt{\mathrm{١٤}}$

= ٣.٥٦٣٢٣٧٨٤٧٣٨٥٥٣١٤٩٣٧٧٦٨٣٧٥٦١٤٧

بما أن الكسر العشري ليس منتهياً ولا متكرراً، فهو عدد غير نسبي.

١١) طعام: أجرى أحد المطاعم مسحاً لـ ٥٠ زبوناً. فبينت النتائج أن ١٥ شخصاً يحبون فطيرة الجبن، و ٢٥ يحبون فطيرة اللبنة، و ٤ يحبون النوعين معاً. كم شخصاً لا يحب فطيرة الجبن وفطيرة اللبنة؟ استعمل أشكال ڤن في الحل.

افهم: تعرف الذين يحبون فطيرة الجبن، واللبنة، والذين يحبونهما معاً.

خطط: استعمل شكل ڤن لتنظيم البيانات.

حل: ارسم دائرتين متقاطعتين تمثلان الفطيرتين، بما أنه يوجد ٤ يحبون الجبن واللبنة فضع ٤في الجزء المشترك من الدائرتين.

استعمل الطرح لتحدد العدد في الجزأين المتبقين.

عدد الأشخاص الذين يحبون فطيرة الجبن = ١٥ - ٤ = ١١

عدد الأشخاص الذين يحبون فطيرة اللبنة = ٢٥ - ٤ = ٢١

عدد الأشخاص الذين لا يحبون فطيرة الجبن وفطيرة اللبنة = ٥٠ - ١١ - ٤ - ٢١ = ١٤ شخصاً.

تحقق: تأكد أن كل دائرة تمثل العدد المناسب من الطلاب.

اكتب معادلة يمكن استعمالها لإيجاد طول الضلع المجهول في كل مثلث قائم الزاوية، ثم أوجد الطول المجهول مقرباً إلى أقرب عشر:

١٢)

ج^٢ = ^٢٨ + ^٢٦

ج^٢ = ^٢٨ + ^٢٦

ج^٢ = ٦٤ + ٣٦ = ١٠٠

ج = $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٠ سم.

١٣)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢١٠ = أ^٢ + ^٢٥

أ^٢ = ^٢١٠ - ^٢٥

أ = $\sqrt{\mathrm{٥٧}}$ = ٨.٧ سم تقريباً.

١٤) أ = ٥٥سم، ب = ٤٨ سم

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢٥٥ + ^٢٤٨

ج^٢ = ٣.٢٥ + ٢٣٠٤ = ٥٣٢٩

ج = $\sqrt{\mathrm{٥٣٢٩}}$ = ٧٣ سم<

١٥) ب = ١٢م، جـ = ٢٠ م؟

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٠ = أ^٢ + ^٢١٢

أ^٢ = ^٢٢٠ - ^٢١٢

أ^٢ = ٤٠٠ - ١٤٤ = ٢٥٦

أ = $\sqrt{\mathrm{٢٥٦}}$ = ١٦ م.

حدد ما إذا كان كل مثلث بالأضلاع المعطاة فيما يأتي قائم الزاوية أم لا. وتحقق من إجابتك:

١٦) ١٢ سم، ٢٠ سم، ٢٤ سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٤ = ^٢٢٠ + ^٢١٢

٥٧٦ = ٤٠٠ + ١٤٤

٥٧٦ $\ne$ ٥٤٤

إذاً المثلث ليس قائم الزاوية.

١٧) ٣٤ سم، ٣٠ سم، ١٦ سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٣٤ = ^٢٣٠ + ^٢١٦

١١٥٦ = ٩٠٠ + ٢٥٦

١١٥٦ = ١١٥٦

إذاً المثلث قائم الزاوية.

١٨) ١٥م، ٢٥م، ٢٠م.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٢٥ = ^٢٢٠ + ^٢١٥

٦٢٥ = ٤٠٠ + ٢٢٥

٦١٥ = ٦٢٥

إذاً المثلث قائم الزاوية.

١٩) ٧سم، ١٤سم، ١٥سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢١٥ = ^٢١٤ + ^٢٧

٢٢٥ = ١٩٦ + ٤٩

٢٢٥ $\ne$ ٢٥٤

إذاً المثلث ليس قائم الزاوية.

٢٠) اختيار من متعدد: يلعب سعد بطائرته الورقية.

أي القياسات الآتية هي الأقرب لطول الخيط؟

أ) ١٣١ م

ب) ٨٣ م

جـ) ٩٧ م

د) ٦٣ م

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢٩٠ + ^٢٣٦

ج^٢ = ٨١٠٠ + ١٢٩٦ = ٩٣٩٦

ج = $\sqrt{\mathrm{٩٣٩٦}}$ = ٩٦.٦ م

≈ ٩٧ تقريباً.

٢١) قياس: احسب محيط مثلث قائم الزاوية طولا ساقيه ١٠سم، ٨سم.

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ^٢١٠ + ^٢٨

ج^٢ = ١٠٠ + ٦٤ = ١٦٤

ج = $\sqrt{\mathrm{١٦٤}}$ = ١٢.٨ سم.

٢٢) مسح: أراد فريق مسحي إيجاد المسافة من النقطة أ إلى ب أي (عرض النهر)، ما عرضه مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة؟

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

^٢٧٢ = أ^٢ - ^٢٢١

أ^٢ = ^٢٧٢ - ^٢٢١

أ^٢ = ٥١٨٤ - ٤٤١ = ٤٧٤٣

أ = $\sqrt{\mathrm{٤٧٤٣}}$ = ٦٨.٩ م.

مثل كل زوج مرتب مما يأتي، ثم احسب المسافة بين كل نقطتين مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك:

٢٣) (-٢، -٢)، (٥، ٦)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

بما أن أ = ٥ - (-٢) = ٧

ب = ٦ -(-٢) = ٨

ج^٢ = ^٢٧ + ^٢٨

ج^٢ = ٦٤ + ٤٩

ج^٢ = ١١٣

ج = $\sqrt{\mathrm{١١٣}}$

ج = ١٠.٦ وحدة تقريباً.

٢٤) ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ١)، ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$، $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}$)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

بما أن أ^٢ = ^٢٠.٧٥ + -^٢١

ب = -٠.٧٥ -(-٠.٢٥) = -١

= ٠.٥٦٢٥ + ١

= ١.٥٦٢٥

ج = $\sqrt{\mathrm{٥٦٢٥}.\mathrm{١}}$

ج = ١.٢٥ وحدة.

٢٥) (-٠.٥، ٠.٢٥)، (٠.٢٥، -٠.٧٥)

ج^٢ = أ^٢ + ب^٢

ج^٢ = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$)^٢ + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٢

ج^٢ = $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٩}}+\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

ج^٢ = $\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٩}}$

ج = $\sqrt{\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٩}}}=\frac{\mathrm{٤}.\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ = ١.٨ وحدة تقريباً.