حل أسئلة تدرب وحل المسائل

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

٨) $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٤٤ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦

أصغر مربع كامل من ٤٤ هو ٤٩. $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧

٣٦ < ٤٤ < ٤٩

^٢٦ < ٤٤ < ^٢٧

$\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٤٤}}<\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$

٦ < $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ < ٧

لذا $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ يقع بين ٦، ٧ وبما أن ٤٤ أقرب إلى ٤٩ منه إلى ٣٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ بعدد كلي هو ٧.

٩) $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٢٣ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤

أصغر مربع كامل من ٢٣ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ٢٣ < ٢٥

^٢٤ < ٢٣ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٢٣}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ٢٣ أقرب إلى ٢٥ منه إلى ١٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ بعدد كلي هو ٥.

١٠) $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١٢٥ هو ١٢١. $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$ = ١١

أصغر مربع كامل من ١٢٥ هو ١٤٤. $\sqrt{\mathrm{١٤٤}}$ = ١٢

١٢١ < ١٢٥ < ١٤٤

^٢١١ < ١٢٥ < ^٢١٢

$\sqrt{{\mathrm{١١}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٢٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٢}}^{\mathrm{٢}}}$

١١ < $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ < ١٢

لذا $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ يقع بين ١١، ١٢ وبما أن ١٢٥ أقرب إلى ١٢١ منه إلى ١٤٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ بعدد كلي هو ١١.

١١) $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١٩٧ هو ١٩٦. $\sqrt{\mathrm{١٩٦}}$ = ١٤

أصغر مربع كامل من ١٩٧ هو ٢٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ = ١٥

١٩٦ < ١٩٧ < ٢٢٥

^٢١٤ < ١٩٧ < ^٢١٥

$\sqrt{{\mathrm{١٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٩٧}}<\sqrt{{\mathrm{١٥}}^{\mathrm{٢}}}$

١٤ < $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ < ١٥

لذا $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ يقع بين ١٤، ١٥ وبما أن ١٩٧ أقرب إلى ١٩٦ منه إلى ٢٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ بعدد كلي هو ١٤.

١٢) $\sqrt{\mathrm{٦}.\mathrm{١٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١٥.٦ هو ٩. $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

أصغر مربع كامل من ١٥.٦ هو ١٦. $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤

٩ < ١٥.٦ < ١٦

^٢٩ < ١٥.٦ < ^٢٤

$\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٦}.\mathrm{١٥}}<\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}$

٣ < $\sqrt{\mathrm{٦}.\mathrm{١٥}}$ < ٤

لذا $\sqrt{\mathrm{٦}.\mathrm{١٥}}$ يقع بين ٣، ٤ وبما أن ١٥.٦ أقرب إلى ١٦ منه إلى ٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٦}.\mathrm{١٥}}$ بعدد كلي هو ٤.

١٣) $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٣}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٣٣.٥ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

أصغر مربع كامل من ٣٣.٥ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦

٥ < ٣٣.٥ < ٣٦

^٢٥ < ٣٣.٥ < ^٢٦

$\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٣}}<\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}$

٥ < $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٣}}$ < ٦

لذا $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٣}}$ يقع بين ٥، ٦ وبما أن ٣٣.٥ أقرب إلى ٣٦ منه إلى ٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٣}}$ بعدد كلي هو ٦.

١٤) $\sqrt{\mathrm{١}.\mathrm{٨٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٨٥.١ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

أصغر مربع كامل من ٨٥.١ هو ١٠٠. $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٢٥ < ٨٥.١ < ١٠٠

^٢٩ < ٨٥.١ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١}.\mathrm{٨٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{١}.\mathrm{٨٥}}$ < ١٠

لذا $\sqrt{\mathrm{١}.\mathrm{٨٥}}$ يقع بين ٩، ١٠ وبما أن ٨٥.١ أقرب إلى ٨١ منه إلى ١٠٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١}.\mathrm{٨٥}}$ بعدد كلي هو ٩.

١٥) $\sqrt{\mathrm{٤}.\mathrm{٣٨}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٣٨.٤ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦

أصغر مربع كامل من ٣٨.٤ هو ٤٩. $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧

٣٦ < ٣٨.٤ < ٤٩

^٢٦ < $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٨}}$ < ^٢٧

$\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٨}}<\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$

٦ < $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٨}}$ < ٧

لذا $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٨}}$ يقع بين ٦، ٧ وبما أن ٣٨.٤ أقرب إلى ٣٦ منه إلى ٤٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥}.\mathrm{٣٨}}$ بعدد كلي هو ٦.

١٦) هندسة: نصف قطر الدائرة التي مساحتها م هو $\sqrt{\frac{م}{\mathrm{٣}}}$ تقريباً. إذا كانت مساحة قرص بيتزا تساوي ١٩٨.١٢ سم^٢. فقدر نصف قطر قرص البيتزا.

نصف القطر (نق) = $\sqrt{\frac{م}{\mathrm{٣}}}$ = $\sqrt{\frac{\mathrm{١٢}.\mathrm{١٩٨}}{\mathrm{٣}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٦٦.٠٤ هو ٦٤. $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨

أصغر مربع كامل من ٦٦.٠٤ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

٦٤ < ٦٦.٠٤ < ٨١

^٢٨ < $\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}$ < ^٢٩

$\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}<\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$

٨ < $\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}$ < ٩

لذا $\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}$ يقع بين ٨، ٩ وبما أن ٦٦.٠٤ أقرب إلى ٦٤ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٠٤}.\mathrm{٦٦}}$ بعدد كلي هو ٨.

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

١٧) $\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$ = $\sqrt{\frac{\mathrm{٢٦}}{\mathrm{٥}}}$= $\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٥.٢ هو ٤. $\sqrt{\mathrm{٤}}$ = ٢

أصغر مربع كامل من ٥.٢ هو ٩. $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

٤ < ٥.٢ < ٩

^٢٢ < $\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}$ < ^٢٣

$\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}<\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٢ < $\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}$ < ٣

لذا $\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}$ يقع بين ٢، ٣ وبما أن ٥.٢ أقرب إلى ٤ منه إلى ٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$ بعدد كلي هو ٢.

١٨) $\sqrt{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢١}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢١}}$ = ٢١.٧

أكبر مربع كامل أقل من ٢١.٧ هو ١٦. $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤

أصغر مربع كامل من ٢١.٧ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ٢١.٧ < ٢٥

^٢٤ < $\sqrt{\mathrm{٧}.\mathrm{٢١}}$ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٧}.\mathrm{٢١}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٧}.\mathrm{٢١}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٧}.\mathrm{٢١}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ٢١.٧ أقرب إلى ٢٥ منه إلى ١٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٧}.\mathrm{٢١}}$ بعدد كلي هو ٥.

١٩) $\sqrt{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٧}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٧}}$ = $\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١٧.٧٥ هو ١٦. $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤

أصغر مربع كامل من ١٧.٧٥ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ١٧.٧٥ < ٢٥

^٢٤ < $\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}$ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ١٧.٧٥ أقرب إلى ١٦ منه إلى ٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٧٥}.\mathrm{١٧}}$ بعدد كلي هو ٤.

رتب كلاً مما يأتي من الأصغر إلى الأكبر:

٢٠) ٧، ٩، $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$، $\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

$\sqrt{\mathrm{٤٩}}،\sqrt{\mathrm{٨١}}،\sqrt{\mathrm{٥٠}}،\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

الترتيب: ٧، $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$، ٩، $\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

٢١) $\sqrt{\mathrm{٩١}}$، ٧، ٥، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$

$\sqrt{\mathrm{٩١}}$، $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$، $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$

الترتيب: ٥، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$، ٧، $\sqrt{\mathrm{٩١}}$

٢٢) $\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، ٦، $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، ٨

$\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$

الترتيب: $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، ٦، $\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، ٨.

جبر: قدر الحل لكل معادلة مما يأتي إلى أقرب عدد صحيح:

٢٣) ص^٢ = ٥٥

ص = $\pm \sqrt{\mathrm{٥٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٥٥ هو ٤٩. $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧

أصغر مربع كامل من ٥٥ هو ٦٤. $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨

٤٩ < ٥٥ < ٦٤

^٢٧ < $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ < ^٢٨

$\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥٥}}<\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$

٧ < $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ < ٨

لذا $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ يقع بين ٧، ٨ وبما أن ٥٥ أقرب إلى ٤٩ منه إلى ٦٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ بعدد كلي هو ٧ أو -٧.

٢٤) ب^٢ = ٩٥

ب = $\pm \sqrt{\mathrm{٩٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٩٥ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

أصغر مربع كامل من ٩٥ هو . $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٨١ < ٩٥ < ١٠٠

^٢٩ < $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٩٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ < ١٠

لذا $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ يقع بين ٩، ١٠ وبما أن ٩٥ أقرب إلى ١٠٠ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ بعدد كلي هو ١٠ أو -١٠.

٢٥) ل^٢ = ٦.٨

ل = $\pm \sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}$

أكبر مربع كامل أقل من ٦.٨ هو ٤. $\sqrt{\mathrm{٤}}$ = ٢

أصغر مربع كامل من ٦.٨ هو ٩. $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

٤ < ٦.٨ < ٩

^٢٢ < $\sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}$ < ^٢٣

$\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}<\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٢ < $\sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}$ < ٣

لذا $\sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}$ يقع بين ٢، ٣ وبما أن ٦.٨ أقرب إلى ٩ منه إلى ٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٨}.\mathrm{٦}}$ بعدد كلي هو ٣ أو -٣.

٢٦) زراعة: اشترى إبراهيم أكياس بذوور الأعشاب المبينة في الشكل المجاور. قدر طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن يزرعه إذا اشترى ٥ أكياس.

المساحة (م) = ٥ × ٢٠٥ م^٢

= ١٠٢٥ م^٢

م = مربع طول الضلع (ل)

ل = $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$

أكبر مربع كامل أقل من ١٠٢٥ هو ١٠٢٤ $\sqrt{\mathrm{١٠٢٤}}$ = ٣٢

أصغر مربع كامل أكبر من ١٠٢٥ هو ١٠٩٨ $\sqrt{\mathrm{٠٩٨١}}$ = ٣٣

١٠٢٤ < ١٠٢٥ < ١٠٩٨

^٢٣٢ < $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ < ^٢٣٣

$\sqrt{{\mathrm{٣٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}<\sqrt{{\mathrm{٣٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٣٢ < $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ < ٣٣

$\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ يقع بين ٣٢، ٣٣ وبما أقرب إلى ١٠٢٤ منه إلى ١٠٩٨؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ بعدد كلي هو ٣٢.

٢٧) الحس العددي: دون استعمال الآلة الحاسبة حدد أيهما أكبر $\sqrt{\mathrm{٩٤}}$ أو ١٠. فسر تبريرك.

^٢١٠ = ١٠٠

بما أن ١٠٠ > ٩٤ فإن ١٠ أكبر من $\sqrt{\mathrm{٩٤}}$

٢٨) مسألة مفتوحة: أوجد عددين يقع جذراهما التربيعيان بين ٧ و ٨. بحيث يكون الجذر التربيعي لأحدهما من ٧، والجذر التربيعي للآخر قريباً من ٨، وبرر إجابتك.

العددان: أ، ب

٧ < $\sqrt{أ}$ < ٨

٧ < $\sqrt{ب}$ < ٨

٤٩ < ٥٠ < ٦٤

٤٩ < ٦٠ < ٦٤

$\sqrt{أ}$ = $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$

$\sqrt{ب}$ = $\sqrt{\mathrm{٦٠}}$

العددان هما ٥٠، ٦٠

٢٩) تحد: إذا كان س^٣ = ص، فإن س هي الجذر التربيعي لـ ص. فسر كيف تقدر الجذر التكعيبي للعدد ٣٠. ثم أوجد قيمته إلى عدد كلي.

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$

أكبر مكعب كامل أقل من ٣٠ هو ٢٧ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}}$ = ٣

أصغر مكعب كامل أكبر من ٣٠ هو ٦٤ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٦٤}}$ = ٤

٢٧ < ٣٠ < ٦٤

^٣٣ < $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ < ^٣٤

$\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}}}<\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}} <\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٣}}}$

٣ < $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ < ٤

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ يقع بين ٣، ٤ وبما ان أقرب إلى ٢٧ منه إلى ٦٤ فأفضل تقدير لـ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$

٣٠) اكتب وضح كيف تمثل $\sqrt{\mathrm{٧٨}}$ على خط الأعداد.

٣١) إذا كان ناتج تربيع عدد كلي ما يقع بين ٩٥٠ و ١٠٠٠، فبين أي عددين مما يلي يقع ذلك العدد؟

أ) ٢٦ و ٢٨

ب) ٢٨ و ٣٠

جـ) ٣٠ و ٣٢

د) ٣٢ و ٣٤

٣٢) أي الجذور التربيعية التالية يبين أفضل تمثيل للنقطة ن على خط الأعداد؟

أ) $\sqrt{\mathrm{١٤٠}}$

ب) $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{١١٦}}$

د) $\sqrt{\mathrm{١٢٦}}$